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sábado, 7 de noviembre de 2009

La pirámide de cubos

(Un problema de matemáticas para distraernos pensando)


Enunciado:

Hemos construido una pirámide formada por cubos de madera, cada uno de ellos tiene un volumen de 1 dm³. En el piso superior hay un cubo, situado en el centro del segundo piso, formado por cuatro cubos. Estos cuatro cubos están situados en el centro del otro piso, formado por nueve cubos.

Queremos pintar la parte visible de la pirámide, es decir, que no pintaremos ni las caras que queden debajo ni las partes de caras que queden tapadas por otro piso.

a) ¿Cual será la superficie que tendremos que pintar?

b) Y si añadiéramos un nuevo piso, formado por 16 cubos, ¿Cual sería la superficie que tendríamos que pintar?

c) ¿Sabrías generalizarlo al caso que hubiera un número cualquiera n de pisos?










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Solución:

a) En primer lugar, a partir del volumen de los cubos, obtenemos el valor de la arista (a):



En relación al cubo del primer piso (n=1), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 4 caras laterales y la superior:



En relación a los 4 cubos del segundo piso (n=2), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 8 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los cuatro cubos, menos la superficie de un cubo, que es la superficie que queda tapada por el piso n=1. Así tenemos:



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En relación a los 9 cubos del tercer piso (n=3), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 12 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los nueve cubos, menos la superficie de los cuatro cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=2. Así tenemos:



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Entendemos, por el enunciado del problema, que la base de la pirámide no se pintará. Por lo que no añadimos aquí la superficie de la base (9a²)


Entonces, la superficie total a pintar es:



Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos finalmente que:



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b) A la solución del apartado anterior añadimos la superficie del cuarto piso. Entonces, la superficie lateral (Sl) a pintar, en relación al cuarto piso (n=4), sería la de las 16 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los dieciséis cubos, menos la superficie de los nueve cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=3. Así tenemos:



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De este modo, se obtiene la superficie total a pintar para el caso de una pirámide de cubos de cuatro pisos:



Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos que:



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c) Para generalizarlo al caso de n pisos, procederemos a analizar la evolución de las series obtenidas en los dos apartados anteriores.

Para cada piso, obteníamos la superficie de los lados, le sumábamos la superficie superior y le restábamos la superficie de contacto con el piso de encima. Construimos así la tabla siguiente con los coeficientes multiplicadores de la superficie lateral de una cara de un cubo (a²):










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La superficie del piso de encima que tendremos que restar es siempre la misma que la superficie superior calculada en el piso anterior, con lo que sólo nos quedará la superficie n², como superficie superior del último piso (equivalente a lo que se vería de la pirámide desde encima, justo desde la verticalidad) De esta manera, observamos que la superficie de los lados es siempre, para cada piso, 4 veces el número del piso: 4n.


Es decir, la superficie lateral a pintar será de:




Arreglando la expresión obtenida, resulta que la superficie que tendremos de pintar en un caso general de una pirámide de n pisos formada por cubo de arista a es:







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Para finalizar, realizaremos a continuación un análisis de la evolución de esta superficie a pintar en el caso particular de a=1.









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Y ya está:

"Con esto y un bizcocho, !hasta mañana a las ocho!"

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14 comentarios:

juancar347 dijo...

Demasiado complicado para mí: siempre he sido un borriquillo de letras. Seguro que el cubo de Rubick se te daba de miedo...

Baruk dijo...

ejem... ya te ha vuelto a dar un subidón matemático??... en fin, tendré que ir a preparar la aspirina.

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Pilara dijo...

Y lo que entretiene... dejar al personal con las neuronas enmarañadas.
Menos mal que según el enunciado no hay que darle una mano a la base, material y trabajo que te ahorras, además de evitar dificultades por aquello del espacio.

Ahora digo yo ... ¿¡ Quién va a pintar todo eso!?

Creo que más de un dedo corazón ha seguido la evolución de la gráfica que analíza la superfície a pintar en el caso particular de a=1.

Un fuerte abrazo.

Rubén Oliver dijo...

De una pirámide formada por cubos,es fácil deducir que puede obtenerse una fórmula sobre la superficie a pintar.Te damos un aprovado justillo...juas.
Un abrazo.

cabestany dijo...

Conclusión:
De todo se puede sacar una regla general, aunque claro, siempre hay excepciones....

Salut!

Bernat dijo...

Asi que al final lo que te queda es una equacion exponencial :P
No se si los egipcios sabian esta formula para cuando tenian que hacer las piramides.

Timuu :*

M'ha agradat molt aquesta entrada =)

Polvorilla dijo...

¡Ay Dios mío, que no m´enterao de na! Una, que no ha llegao ni a los "quebrados". Pero si usted lo dice, no nos queda duda, en nuestro
bajo coeficiente matemático, que será verdad. Lo de la catenaria, que era como "pa" preescolar lo entendí mu requetebien.A su pies, quedo de usted, como ferviente adoradora.

Alkaest dijo...

¿Pa'qué tanto darle vueltas? ¿Pa'que tantas fórmulas y gaitas?
Yo puedo recomendarte un pintor mu'güeno, mu'barato y de confianza, que en un dos por tres, te pinta la pirámide al gusto. Y garantizado, oye, que si no quedas contento te la repinta.

Salud y fraternidad.

Titina dijo...

Huy..¡¡¡cuanto tiempo!!! que interesante todo eso que cuentas ¿crees que era así como calculaban los faraones egipcios la altura de sus pirámides?

Es como muy fantástico que nos expliques esas cosas, a mi siempre me supendían en mates, me podrías dar clases particulares, je,je.

pallaferro dijo...

Bueno, como veo que en matemáticas no estáis muy fuertes (al menos, en apariencia) pues os ofrezco mi ayuda para lo que necesitéis: sumar mis pasiones a las vuestras, restar penas a la vida, multiplicar alegrías entre todos y dividir los problemas en una serie de múltiples pequeñas tonterías que converjan asintóticamente a cero.

Gracias por vuestros comentarios. Me han sido muestras de vuestro cariño, de que "estáis ahí".

Un abrazo,

Alkaest dijo...

Bueno, estamos "aquí" de milagro, porque los pobres terrícolas incapaces de hacer una suma sin calculadora...
A lo mejor es porque te apreciamos, aunque sea un poquito elevado "al cubo"...

Que ya hay que tener cuajo, para apreciar a un "matemático", con la de palmetazos que nos dieron en la escuela por culpa de sus "inventos".

Ánimo y vámonos p'al Sur.

Salud y fraternidad.

Anónimo dijo...

Pallaferro, estáis como "raros", ¿no?

Me explico.
Vengo de El mundo de Malvís de leer una poesía en la que no he entendido nada. Y llego aquí y me encuentro con este reto matemático donde entiendo menos que nada.

En fin, menos mal que:
a) el Ángel del Amor de Baruk sí que ha sido claro.
b) Y que tú consideras aceptable "estar ahí (aquí)", sin necesidad de pasar de la expresión de operaciones (a las que, por otra parte, "me sumo") expresadas en palabras corrientes, a esotéricas expresiones matemáticas. ¡Uf!

Vaya que... ¡Hola, Pallaferro! Estoy aquí.

pallaferro dijo...

Anderea, relájate y disfruta. Aquí, en este mundo virtual, cada uno hace lo que le viene en gana, cada cual expresa lo que quiere y como quiere.

Es un espacio de expresión, sí. De compartir ideas y pensamientos, también. Pero además es un espacio de liberación, porque en la vida real ya nos encontramos con bastantes limitaciones que acotan nuestros deseos. No crees?

Un abrazo, y gracias, también, por sumarte a estar aquí (ahí).

Anónimo dijo...

Sí, alguna limitación que otra ya se me ocurre, ya, Pallaferro.