Cuadrados mágicos

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Unos por querer encerrar crípticos secretos y otros por querer descifrar sus enigmas, los cuadrados mágicos han fascinado a muchos desde hace más de cuatro milenios.

Tomando como punto de partida que se deben distribuir los números en las casillas de un cuadrado de n x n, de modo que coincida la suma de filas, columnas y diagonales, se puede obtener fácilmente que el valor de la suma en un cuadrado mágico de 3x3 ha de ser el triple del número que pongamos en el centro, o que en uno de 4x4, con los números del 1 al 16, siempre los totales deberán ser 34. Además, para cuadrados mágicos de órdenes superiores, existen algoritmos que sistematizan su construcción.

Otras propiedades que refuerzan el aspecto “mágico” de estos cuadrados son, por ejemplo, que la suma de los cuatro vértices suman el mismo total o que la permutación de algunas filas o columnas da como resultado otro cuadrado mágico. Todo un mundo de posibilidades que ayudan a descubrir ideas y estrategias combinatorias, así como utilizarlos para esconder “sigilosamente” mensajes mágicos. Tal vez por estas razones, en el campo del esoterismo se han identificado determinados cuadrados mágicos con las propiedades que representan los planetas.

Pero en matemáticas resulta habitual encontrar relaciones entre problemas similares, también llamados isomorfos. Se trata de encontrar analogías en otro tipo de problemas que, si bien en apariencia son distintos, se comportan bajo las mismas reglas “secretas” de, por ejemplo, el cuadrado mágico. Así resulta que un juego de elección cartas, o de estrategia de cruces en una matriz de 4x4, o en el juego del tres en raya, puede tener correspondencia isomorfa con el cuadrado mágico. De este modo, problemas que bajo una formulación determinada resultan muy difíciles de resolver, suelen resolverse transformándolos en problemas isomorfos donde se es capaz de llegar a una solución y, posteriormente, aplicar una transformación inversa para obtener la respuesta al problema original. Con esto, los matemáticos nos dejan claro que algunas veces hay que poner buenas dosis de imaginación para resolver un problema, y que el camino de la solución no se nos aparece siempre ante los primeros intentos. 

Un cuadrado mágico del que tengo constancia por su singularidad es el representado en la fachada de la Pasión del templo de la Sagrada Familia. Su originalidad estriba en que se repiten dos veces los números 10 y 14, mientras que el 12 y el 16 no aparecen. Tal vez para que la suma fuera de 33, de claro simbolismo crístico; tal vez para evocar una vinculación con los grados de la masonería... o, tal vez, para facilitarnos la respuesta al problema original?

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Sentido común

Dicen que el sentido común es el menos común de los sentidos.

Otros, lo redefinen al estilo de Descartes en su Discurso del Método y dicen que el sentido común es el mejor repartido, pues todo el mundo cree poseerlo en suficiente y justa medida.

Pues bien, no siempre el sentido común ayuda al común de los mortales. Veamos un ejemplo.

Se trata contestar una pregunta simple: En una familia con cuatro descendientes, ¿qué probabilidad hay que sean dos niños y dos niñas?

El sentido común suele actuar en una respuesta rápida, sin demasiada premeditación, y decir que es del 50%. Verdad? … Pues no.

Qué ocurre aquí? Bueno, para abordar el tema vamos a simplificar el problemilla diciendo que, cuando nace un descendiente, éste puede ser niño o niña con exactamente la misma probabilidad del 50%. Hasta ahí, bien. Es genéticamente y matemáticamente aceptable. Pero si no se trata de un único retoño, los cálculos de probabilidades se “alejan” de nuestro sentido común.

Supongo que si este problemilla hubiera sido puesto en un examen de tipo test, tendría cuatro respuestas como:

a) 50%            b) 25%             c) 20%            d) 37,5%

Un segundo enfoque en el que hay más intuición que enfoque científico, es el pensar en un efecto “doble – mitad” y, presuponiendo que hay proporcionalidad inversa en este caso, razonar rápidamente que, “si hay dos hijos –niño y niña- la probabilidad seria del 50%, luego si hay el doble de hijos se divide por dos la probabilidad”… y obtener por consiguiente el resultado del 25%

Pero conviene ir un poco más allá, porque un tercer enfoque más razonable seria pensar en el conjunto de los siguientes resultados de la tabla de verdad:

4 niños y 0 niñas

3 niños y 1 niña

2 niños y 2 niñas

1 niño y 3 niñas

0 niños y 4 niñas

Con lo que si, de las cinco opciones, la combinación de “2 niños y 2 niñas” es sólo una de ellas, podríamos afirmar que la probabilidad es de una opción entre 5 y, por lo tanto, resulta ser del 20%.

Sin embargo, vamos a plantearlo aún de otro modo más detallado, desarrollando todas las opciones de poder tener, parto a parto, uno a uno, estos cuatro descendientes. Entonces, la tabla de verdad resulta ser:

Con este análisis, resulta que, de las 16 posibles combinaciones del conjunto de los cuatro felices nacimientos, sólo 6 soluciones cumplen los deseos de que sean 2 niños y 2 niñas. Y 6 entre 16 corresponde al 37,5%.

Curioso? Ambiguo?

Curioso, sí. Queda claro que el sentido común no siempre funciona. Muchas veces, tal vez funciona, pero no hay que fiarse empedernidamente de él. Sorprende que el resultado no sea el 50%.

Ambiguo? Pues también. Porque se generan las dudas de si el resultado correcto es el 20 o el 37,5%. La respuesta, según la matemática combinatoria, está en que si el parto fuera uno solo (es decir, que no nos importa el “orden” de los hijos porque todos nacen “justo en el mismo momento”) entonces esta probabilidad es del 20%. Pero si se consideran cuatro partos entonces la tabla de la verdad engloba los 16 posibles resultados y la probabilidad resulta ser, finalmente, del 37,5%.

Estos juegos o, según como, malas jugadas que las matemáticas ocasionan al sentido común suelen dar ventaja, en determinadas circunstancias, a las personas conocedoras de las leyes de la probabilidad. Son situaciones que todos, con un poco de tiempo dedicado a entender el problema, podemos resolver. Sin embargo, suele ocurrir que no queremos dedicarle tiempo y esfuerzo a entender el problema con toda su amplitud y nos aventuramos a apostar por una opción poco meditada, basada en la confianza que tenemos de nuestro “sentido común”. Sin embargo, si nuestro oponente tiene la capacidad de conocer y analizar en profundidad la “tabla de verdad” del problema, nos puede ganar la partida.

Parece de “sentido común” que tengamos que analizar todas las variables ante un tema a resolver, sin embargo no es común que actuemos siempre en este sentido.

Al final de la cola

La teoría de colas nos muestra cómo hay matemáticos que intentan modelar, bajo formulaciones limitadas, cuestiones reales y cuotidianas.

Podríamos decir que la teoría de colas analiza un tipo de problemas de optimización, de cómo encontrar el punto de equilibrio entre la calidad de servicio (es decir, la paciencia de los que esperan en una cola) y la cantidad de servicio (léase cuantos trabajadores hay que poner para atender a los clientes, con el menor coste)

Desde el ritmo de llegada de los clientes a la cola, la distribución de cómo llegan a lo largo del tiempo, la capacidad de la cola, cómo se gestiona el turno en la cola, el método de atención, el número de servidores que atienden el público, el tiempo medio de atención de cada cliente, la desviación típica de estos tiempos de atención... son muchos los factores que intervienen en el análisis detallado de este tema. Y además los matemáticos se lo pasan de rechupete haciendo llegar a los clientes al ritmo exponencial de Poisson, o marcando a los trabajadores que atiendan al público según la distribución de Weibull. Fascinante!

Sumamos ahora el comportamiento de los clientes: hay que abandonan la cola, espabilados que se cuelan, unos que no se unen a la cola al ver su longitud, otros fieles que no dejan la cola aunque ésta sea interminable... pacientes e impacientes.

Para acabarlo de aliñar, el modelo que se consigue después de poner todo estos factores bajo notación matemática, se comporta bien cuando se llega a un estado estacionario, pero en los transitorios difiere bastante del comportamiento real. Y en la realidad de muchas colas abundan los transitorios, ya que el servicio suele ceñirse a un horario, pueden haber interrupciones, etc.

Así que los matemáticos se han sumado a los informáticos para abordar este problema y han programado herramientas de simulación. Aunque no sea una panacea, ahora pueden abordar mejor los transitorios, simular el comportamiento bajo suposiciones diversas y experimentar rápidamente multitud de opciones obteniendo la mejor solución para cada caso.

Parece fácil. Al menos a mi me parece sumamente interesante el tema. Pero de hecho, en la gran mayoría de situaciones reales esto de las colas se soluciona sobre la marcha, con la simple experiencia: “Si hay mucha cola y veo que los clientes se quejan, pondré a otro trabajador a atenderlos”.

Aún así, hay situaciones que son analizadas en profundidad optimizando costes de explotación del servicio -y aumentando los beneficios- a costa de poner al límite la paciencia del cliente. Aplicaciones como las colas en puntos de atención al cliente de grandes empresas o de las líneas de cajeros en supermercados, pasando por los flujos de paquetes en una empresa de mensajería hasta el dimensionado de una red informática según los flujos de información que soporte.




Mucha teoría, pero no nos olvidemos que el cliente sabe que siempre prevalece la Ley de Harper:

“No importa en qué cola te sitúes, la otra siempre avanzará más rápido”

Código binario

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Cuando nos dicen que esto de la electrónica digital o eso de la informática funciona con códigos binarios nos suena a chino... !Pues sí! Es cierto, porque ya en la antigua filosofía del I Ching se utilizó la esencia del código de numeración con “ceros y unos”.

Estamos acostumbrados a contar con los números del 1 al 10 en nuestro seguro y cómodo sistema decimal y, sobre este sistema, sabemos realizar las operaciones algebraicas básicas. Bueno, los hay que se han olvidado ya de dividir a mano y echan mano a la calculadora para que la electrónica digital les saque del apuro.

También estamos acostumbrados a contar algunas cosas con el sistema sexagesimal. Este sistema, que usa el número 60 como base, lo usamos para contar el tiempo –horas, minutos, segundos-, en la medición de ángulos… y hasta cuando compramos algunos productos por docenas. Que, hablando de la docena, es una antigua y sabia cuestión de práctica doméstica. Puesto que la docena es la cantidad más pequeña que permite ser repartida entre una, dos, tres, cuatro o seis personas.

Pues el código binario no es más que otro sistema de contar. Lo que ocurre es que, como lo que se tenía en esos inicios de la electrónica digital era el cero (no hay corriente) y el uno (sí hay corriente), pues se usaron esos dos niveles, el cero y el uno, como base para contar las cosas. Como lo hicieron cuatro mil años antes en el I Ching.

Cualquier número puede ser traducido a código binario. El tres es 11 (se lee uno uno), el diez es 1010 (uno cero uno cero) o el doscientos nueve es 11010001. Con esos números codificados en binario se pueden hacer electrónicamente muchas cosas. Se pueden hacer las operaciones algebraicas que queramos y que nos dé el resultado traducido a nuestro cómodo sistema decimal en la pantalla de la calculadora; se pueden guardar los números en un soporte de memoria electrónica para recuperarlos cuando queramos; se pueden enviar a cualquier otro punto del mundo a través de las redes de telecomunicaciones… se puede hacer de todo.

Bueno, y es que en realidad, además, se acaba traduciendo a código binario todo lo que sea información. Las letras de un texto, la voz, la música, las fotografías, los dibujos, los bancos de datos… todo. Sólo hay que fijarse en una porción básica, el píxel, por ejemplo, y codificarlo según su color y cantidad de luz en una retahíla de ceros y unos que luego nos permita volver a reproducir ese píxel en otro lado cuando queramos. La electrónica lo hace para nosotros a toda velocidad, pero lo hace así, leyendo el sistema binario y pintando en la pantalla del ordenador, píxel a píxel, según está escrito en su registro de memoria electrónica.

Aunque es enorme la cantidad de ceros y unos que se procesan en cada segundo, el método utilizado en cada “microsegundo” por un aparato electrónico es muy simple. De hecho, se basan en operaciones lógicas desarrolladas en el siglo XIX por el matemático George Boole. Desde las simples operaciones “AND” que “suman”… cero y cero igual a cero, cero y uno igual a uno… hasta operaciones más complejas pero que, en realidad, no son más que operaciones que se descomponen siempre en las cuatro operaciones básicas del álgebra de Boole.

Así, cualquier instrucción que demos a un ordenador desde nuestro nivel de usuario, como por ejemplo si tecleamos la letra “p”, se traduce en un conjunto de instrucciones a nivel de programación informática del estilo “codifica en binario la p, guárdala en la memoria y envía la representación de la letra p a la pantalla del ordenador”, cada parte de estas indicaciones se desglosan en instrucciones de niveles de programación más básicos, y éstos a su vez en otros niveles de microprogramación, niveles que usan, finalmente, los ceros y unos y el álgebra de Boole para ejecutar electrónicamente la acción solicitada al teclear la letra “p”: que se grabe esa letra en el texto que estamos escribiendo y que la veamos en la pantalla de nuestro ordenador.

Espero que a partir de ahora, cuando nos digan que esto de la electrónica digital o eso de la informática funciona con códigos binarios, nos suene a chino sólo porque ya en el antiguo I Ching se utilizó en los hexagramas la esencia del código de numeración con “ceros y unos”.

64 hexagramas del I Ching

La pirámide de cubos

(Un problema de matemáticas para distraernos pensando)

Enunciado:

Hemos construido una pirámide formada por cubos de madera, cada uno de ellos tiene un volumen de 1 dm³. En el piso superior hay un cubo, situado en el centro del segundo piso, formado por cuatro cubos. Estos cuatro cubos están situados en el centro del otro piso, formado por nueve cubos.

Queremos pintar la parte visible de la pirámide, es decir, que no pintaremos ni las caras que queden debajo ni las partes de caras que queden tapadas por otro piso.

a) ¿Cual será la superficie que tendremos que pintar?

b) Y si añadiéramos un nuevo piso, formado por 16 cubos, ¿Cual sería la superficie que tendríamos que pintar?

c) ¿Sabrías generalizarlo al caso que hubiera un número cualquiera n de pisos?

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Solución:

a) En primer lugar, a partir del volumen de los cubos, obtenemos el valor de la arista (a):

En relación al cubo del primer piso (n=1), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 4 caras laterales y la superior:

En relación a los 4 cubos del segundo piso (n=2), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 8 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los cuatro cubos, menos la superficie de un cubo, que es la superficie que queda tapada por el piso n=1. Así tenemos:

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En relación a los 9 cubos del tercer piso (n=3), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 12 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los nueve cubos, menos la superficie de los cuatro cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=2. Así tenemos:

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Entendemos, por el enunciado del problema, que la base de la pirámide no se pintará. Por lo que no añadimos aquí la superficie de la base (9a²)

Entonces, la superficie total a pintar es:

Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos finalmente que:

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b) A la solución del apartado anterior añadimos la superficie del cuarto piso. Entonces, la superficie lateral (Sl) a pintar, en relación al cuarto piso (n=4), sería la de las 16 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los dieciséis cubos, menos la superficie de los nueve cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=3. Así tenemos:

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De este modo, se obtiene la superficie total a pintar para el caso de una pirámide de cubos de cuatro pisos:

Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos que:

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c) Para generalizarlo al caso de n pisos, procederemos a analizar la evolución de las series obtenidas en los dos apartados anteriores.

Para cada piso, obteníamos la superficie de los lados, le sumábamos la superficie superior y le restábamos la superficie de contacto con el piso de encima. Construimos así la tabla siguiente con los coeficientes multiplicadores de la superficie lateral de una cara de un cubo (a²):

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La superficie del piso de encima que tendremos que restar es siempre la misma que la superficie superior calculada en el piso anterior, con lo que sólo nos quedará la superficie n², como superficie superior del último piso (equivalente a lo que se vería de la pirámide desde encima, justo desde la verticalidad) De esta manera, observamos que la superficie de los lados es siempre, para cada piso, 4 veces el número del piso: 4n.

Es decir, la superficie lateral a pintar será de:

Arreglando la expresión obtenida, resulta que la superficie que tendremos de pintar en un caso general de una pirámide de n pisos formada por cubo de arista a es:

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Para finalizar, realizaremos a continuación un análisis de la evolución de esta superficie a pintar en el caso particular de a=1.

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Y ya está:

"Con esto y un bizcocho, !hasta mañana a las ocho!"

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Simulated annealing

El otro día dejé el tema de los procedimientos algorítmicos para la resolución de problemas de optimización combinatoria pendiente de retomar el hilo. Voy a coger la madeja, a ver si la desenredo…

Resulta que hay un tipo de problemas de donde se supone que debe haber una (o varias) soluciones optimas, pero que hay un número muy elevado de posibles opciones de solución como para analizar todas y escoger la mejor.

Imaginemos una ciudad en donde queremos distribuir en sus calles el mínimo de estaciones de metro que dé servicio a todos los habitantes, pero optimizando el parámetro de “apreciación de cercanía del servicio” por parte de los ciudadanos para que, el nivel de satisfacción global ofrecido sea el mayor posible.

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Un procedimiento algorítmico meta-heurístico que podría aplicarse para obtener la mejor solución teórica a este problema de optimización combinatoria es el llamado “simulated annealing”, o simulación del temple.

Consiste, en primer lugar, en obtener una expresión de la “función de coste” de cada solución posible. Esta función de coste, para el caso que nos ocupa, sería seguramente la “puntuación de la apreciación global de la cercanía de servicio”, donde se tendrían en cuenta “ingredientes” y variables, para cada ciudadano, como la distancia de su casa a la estación de metro más cercana, posiblemente la ponderaríamos según parámetros de pendiente/desnivel de las calles, según la franja de edad de cada uno… y añadiríamos un factor de atención a las personas con movilidad reducida. También añadiríamos criterios de “qué nivel de servicio” es percibido (o esperado) como satisfactorio por cada ciudadano en función de si éste vive en una zona de viviendas verticales de elevada densidad, o si por lo contrario, vive en un barrio residencial de casas aisladas. Sumando el nivel de apreciación de satisfacción cada ciudadano, para cada solución de distribución de un número de paradas de metro situadas por el municipio, se obtendría el valor de la “función de coste” para este problemita.

A partir de aquí, se deja a un lado la gorra de “técnico municipal” y se coge la gorra de “matemático analista” para empezar a sacar humo a la función de coste de marras aplicando el algoritmo de simulated annealing. Esta técnica proviene de la analogía hecha entre los problemas de la mecánica estadística de encontrar el estado básico de un sistema de varios cuerpos -un líquido, por ejemplo- y el de encontrar un mínimo (o un máximo) global de una función de coste en un problema de optimización combinatoria.

Si la temperatura de la interacción molecular en un líquido se congelase de golpe, el resultado podría ser de un completo desorden cristalino con una energía más alta que la del estado cristalino básico correcto. De hecho, las moléculas se encontrarían en un mínimo local de energía.

Sin embargo, si la temperatura del líquido se reduce lentamente (annealing) se tiende hacia un equilibrio y el líquido se congela a través de un proceso de enfriamiento que conduce a un estado cristalino de mínima energía global.

En la analogía hecha con el problema de optimización combinatoria, los parámetros variables (dónde ponemos las estaciones de metro y cuantas ponemos para que el coste económico global sea mínimo) son equiparados con las posiciones atómicas del líquido y la energía se identifica con la función de coste a optimizar (la “puntuación de la apreciación global de la cercanía de servicio”). La temperatura se define como un parámetro de control del proceso algorítmico y está relacionada con la probabilidad de cambio a un estado de peor coste que tiene que ser aceptado con la finalidad de no caer en un mínimo local.

En el algoritmo de la simulación del temple se acepta un cambio de solución (o de estado) cuando el resultado de la función de coste asociado a la nueva solución es mayor. Lógico. Pero si el resultado de la función de coste en la nueva solución es menor, el cambio es aceptado con cierta probabilidad que depende de la temperatura que controla el sistema y del decremento del valor de la función de coste, utilizando para ello una función exponencial negativa.

El proceso del algoritmo parte de una solución inicial cualquiera y a una temperatura inicial “ambiente”. Obtiene la función de coste y explora, en un número de iteraciones adecuado, el entorno del espacio de estados. El entorno se analiza efectuando una perturbación elemental en la solución actual y aplicando el criterio de aceptación de la nueva propuesta de solución según la probabilidad definida.

Al inicio, cuando la temperatura es relativamente alta, se aceptan cambios de solución a pesar que los empeoramientos de la función de coste sean importantes. Después, a medida que la temperatura decrece, se van aceptando empeoramientos cada vez más pequeños. Esta característica del algoritmo es la que le permite poderse escapar de los mínimos locales y asegurar una buena convergencia del método en un amplio tipo de problemas y espacios de estado. Es una de las claves del éxito de éste método meta-heurístico.

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La temperatura se decrementa suavemente y el sistema algorítmico se va enfriando hasta pararse cuando se cumpla alguno de los criterios de final de cálculo (pocos cambios aceptados, no se ha aumentado el resultado de la función de coste en la última temperatura, etc.) Entonces, se escoge como mejor resultado aquella solución que, de todos los estados por donde ha pasado el algoritmo, la que mayor función de coste o “puntuación de la apreciación global de la cercanía de servicio” nos ha dado.

El algoritmo de la simulación del temple, si bien no ha pasado por todas las casi infinitas soluciones del espacio de estados, tiene un elevado grado éxito y adaptabilidad a multitud de problemas de optimización combinatoria. El método asegura una buena convergencia hacia la solución óptima global en un número iteraciones asumibles de ser calculadas por un programa informático en un tiempo de cálculo aceptable y acorde con la magnitud del problema a tratar.

Procedimientos heurísticos

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Por la taxonomía dada a este tipo de procedimientos matemáticos nos sugiere que resuelven problemas por el método de “feliz idea”. De “Eureka” - lo encontré – que parece que pronunció Arquímedes cuando intuyó su Principio mientras se bañaba, comprobando que su cuerpo sumergido en el agua recibía un empuje vertical hacia arriba.

Se trata de procedimientos que se suelen aplicar en problemas en los que hay un número muy elevado de combinaciones posibles, de entre las cuales hay probablemente una de ellas que sea la solución óptima. Hay que encontrar, pues, de la manera más eficiente posible, la aguja en el pajar.

Existe una amplia variedad de problemas de este tipo en la ciencia, la ingeniería o la economía. Un ejemplo ilustrativo es el de la búsqueda del camino euleriano, o del camino hamiltoniano sobre un dodecaedro, conocido popularmente como el “problema del viajante”: un vendedor sale de una ciudad y debe visitar todas las ciudades de una lista, pasando únicamente una vez por cada una y volviendo finalmente a la ciudad inicial. La cuestión está en encontrar cual es el recorrido más corto.

Efectivamente, los procedimientos heurísticos tienen una parte del uso del azar, de la intuición o de las diversas estrategias acerca de cómo resolver los problemas de optimización combinatoria. Dibujar esquemas, probar una solución, realizar aproximaciones sucesivas, desmenuzarlo en otros más simples, generalizarlo primero para luego concretar, buscar analogías en otros campos de la ciencia, ... hasta la “cuenta de la vieja” puede llevarnos a la resolución de un problema bajo un procedimiento del tipo heurístico.

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Y probablemente, para un problema concreto, el procedimiento heurístico sea altamente eficiente. Aunque seguramente deje de funcionar al aumentar el orden del problema, o al aplicar el mismo procedimiento heurístico a otro problema distinto de optimización combinatoria.

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Sin embargo, existen otros procedimientos algorítmicos para la resolución de problemas de optimización combinatoria que han mostrado una alta eficiencia y, a la vez, una gran adaptabilidad a problemas de diferentes campos. Se trata de procedimientos meta-heurísticos en que, curiosamente, su funcionamiento guarda estrecha relación con fenómenos de la naturaleza. De entre ellos se encuentran las redes neuronales, los algoritmos genéticos o la simulación del temple (simulated annealing).

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Retomaré en otra ocasión el tema para explicar cómo funciona alguno de estos procedimientos meta-heurísticos, ya que estas problemáticas me resultan altamente fascinantes..

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Alcance y velocidad de disparo

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Una pregunta que me hacía algunas veces mientras practicaba tiro con arco era cómo poder determinar la velocidad de salida de la flecha en el momento del disparo.

No era ninguna cuestión necesaria para practicarlo, ni parecía que ese dato ayude a mejorar la puntería. Sólo era con el fin de satisfacer la curiosidad técnica de cómo poder obtener esa velocidad de disparo de una manera más o menos fácil y fiable.

El método de obtención de velocidad como espacio por unidad de tiempo ocasionaba alto nivel de error, ya que si bien puedes tener precisión en la medida de la distancia arco-diana, tienes un error considerable de medida del recorrido real parabólico que describe la flecha, así como de medida del tiempo que tarda en recorrer este espacio ya que, al ser éste bastante corto, se produce un error relativo grande usando un cronómetro de manera manual.

Finalmente, hallé la solución profundizando en el análisis cinemático del tiro parabólico. Más concretamente en la obtención del alcance. Es decir, en la distancia horizontal que recorre un proyectil si es lanzado a una velocidad inicial V0 y con una inclinación respecto del plano del suelo de a grados.

Pues bien, despreciando los efectos del rozamiento de la flecha con el aire, así como la altura inicial de la flecha respecto del suelo y redondeando la fuerza de gravedad a 10 m/s², se obtiene que el alcance r se puede expresar como:

r = 0,2 V0² sen a cos a

De donde se deduce que el máximo alcance se produce cuando el ángulo de disparo es de 45 grados. Y en este caso, despejando la velocidad inicial V0 e incluyendo los oportunos factores de conversión para obtener el resultado en km/h resulta que:

V0 = 3,6 · V(10 · r) (km/h)

Resumiendo: que lanzando una flecha a 45 grados en un campo de tiro, midiendo horizontalmente en metros a qué distancia se ha clavado en el suelo (r), multiplicando por 10, obteniendo la raíz cuadrada y multiplicando después por 3,6 obtenemos la velocidad de salida de la flecha en km/h.

Creo que el método es simple y las medidas a efectuar – ángulo de disparo de 45 grados y alcance en metros - son de bajo error relativo. Luego, es un sistema suficientemente válido para obtener la velocidad a la que sale disparada la flecha.

Esta velocidad, obviamente, depende del arco y las flechas que utilices. En mi caso, la experimentación en un campo de tiro me dio como resultado un alcance de 175 metros y una velocidad inicial de la flecha de 150 km/h.

Y así es como dejé satisfecha mi curiosidad técnica sobre este tema.

Tetraktys

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Los pitagóricos creían que toda la esencia de este mundo era de orden numérico y armónico. Y compendiaban en su vida la filosofía, las matemáticas, la ciencia, la música y la astronomía. Bajo esta definición, el Homus Virtualis de este blog se identificaría como un aficionado al pitagorismo.

Sin entrar en la doctrina de los pitagóricos, pues hay extensa literatura de ello, hasta hace pocos días conocía aspectos inconexos de este tema: el universalmente conocido teorema de Pitágoras, los tipos de números según su relación (perfectos, amigos, poligonales, etc.), la base pitagórica de la armonía musical, la geometría pitagórica... y algunos aspectos –entre historia y leyenda- de la vida y la muerte de Pitágoras.

Pues bien, al profundizar en el conocimiento del pitagorismo, me ha aparecido de pronto, como una revelación, el símbolo místico pitagórico del Tetraktys. Se trata de un triangulo donde se representan diez puntos, como suma de 1+2+3+4.

• El uno (mónada) es entendido como la unidad, la divinidad, el origen de todas las cosas, el ser inmanifestado...


• El dos (díada) es el desdoblamiento de la unidad, el principio de la dualidad inherente en toda cosmología: activo y pasivo, masculino y femenino, bien y mal, ...


• El tres (tríada) recoge el concepto de los tres niveles que hay en los aspectos místicos: cuerpo, alma y espírtitu; Padre, Hijo y Espíritu Santo; infierno, tierra y cielo; etc. También, bajo una idea geométrica, si entendemos el uno como un punto y el dos como una línea, el tres pasa a ser un plano.


• El cuatro (cuaternario) quiere simbolizar el universo material, como manifestación de cuatro aspectos: tierra, aire, fuego y agua; Lucas, Juan, Marcos y Mateo; toro, águila, león y hombre; y los tetragrámaton de muchas religiones y filosofías. Ahora la idea geométrica alcanza con este cuarto nivel el volumen, adquiriendo cuerpo material.


• Y el 10 (década) es el conjunto de los anteriores, el número perfecto, la totalidad del Universo. Y en este sentido de totalidad se revela como un retorno a la unidad, cerrando el ciclo. Un origen y un fin; un todo surge del uno y vuelve al uno...

Así pues, el Tetraktys es una representación simple y compleja de la creación, de la totalidad en constante movimiento, de la armonía de los contrarios, de la esencia numérica de todas las cosas... En definitiva, opino que podría ser el árbol de la vida de los pitagóricos.

Una pasada.

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Jugant amb l'infinit

En el món de les matemàtiques es pot caure en conclusions absurdes i contradictòries si no tenim cura en fer determinades passes.

Per exemple, vaig a demostrar que 2 = 1

Parteixo d’una afirmació innòcua, com a = b
Multiplico els dos costats per a, i tinc a² = ab
Afegeixo als dos costats a²-2ab, per passar a tenir:

a²+a²-2ab = ab+a²-2ab

I d’aquesta manera puc simplificar-ho agrupant els termes en a² i els termes en ab a cada costat de l’expressió:

2a²-2ab = a²-ab

Traient factor comú a la primera igualtat, tinc que:

2(a²-ab) = a²-ab

Finalment, no tinc més que dividir els dos costats de la igualtat per a²-ab i...

Obtenim la demostració que 2 = 1 !!!

Aquest exemple pretén il·lustrar que de la mateixa manera que, en una matèria que m’agrada aprofundir en el seus secrets, un és capaç de demostrar i afirmar coses incorrectes confonent als altres, també crec que en altres de camps els anomenats “entesos en la matèria” de vegades no ho són tant. I, conscientment com en aquest exemple, o imprudentment per no saber “jugar amb l’infinit” ens transmeten conclusions totalment errònies.

L’elucubració sobre qualsevol tema potser és lícit de ser practicat per tothom. Però també tothom hauria de ser més cautelós en creure’s qualsevol font d’informació. Hi ha molts casos de llops disfressats amb pell de be que, malintencionadament, et conten històries per a que caiguis a les seves urpes.