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miércoles, 8 de enero de 2014

Cuadrados mágicos

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Unos por querer encerrar crípticos secretos y otros por querer descifrar sus enigmas, los cuadrados mágicos han fascinado a muchos desde hace más de cuatro milenios.

Tomando como punto de partida que se deben distribuir los números en las casillas de un cuadrado de n x n, de modo que coincida la suma de filas, columnas y diagonales, se puede obtener fácilmente que el valor de la suma en un cuadrado mágico de 3x3 ha de ser el triple del número que pongamos en el centro, o que en uno de 4x4, con los números del 1 al 16, siempre los totales deberán ser 34. Además, para cuadrados mágicos de órdenes superiores, existen algoritmos que sistematizan su construcción.

Otras propiedades que refuerzan el aspecto “mágico” de estos cuadrados son, por ejemplo, que la suma de los cuatro vértices suman el mismo total o que la permutación de algunas filas o columnas da como resultado otro cuadrado mágico. Todo un mundo de posibilidades que ayudan a descubrir ideas y estrategias combinatorias, así como utilizarlos para esconder “sigilosamente” mensajes mágicos. Tal vez por estas razones, en el campo del esoterismo se han identificado determinados cuadrados mágicos con las propiedades que representan los planetas.

Pero en matemáticas resulta habitual encontrar relaciones entre problemas similares, también llamados isomorfos. Se trata de encontrar analogías en otro tipo de problemas que, si bien en apariencia son distintos, se comportan bajo las mismas reglas “secretas” de, por ejemplo, el cuadrado mágico. Así resulta que un juego de elección cartas, o de estrategia de cruces en una matriz de 4x4, o en el juego del tres en raya, puede tener correspondencia isomorfa con el cuadrado mágico. De este modo, problemas que bajo una formulación determinada resultan muy difíciles de resolver, suelen resolverse transformándolos en problemas isomorfos donde se es capaz de llegar a una solución y, posteriormente, aplicar una transformación inversa para obtener la respuesta al problema original. Con esto, los matemáticos nos dejan claro que algunas veces hay que poner buenas dosis de imaginación para resolver un problema, y que el camino de la solución no se nos aparece siempre ante los primeros intentos. 


Un cuadrado mágico del que tengo constancia por su singularidad es el representado en la fachada de la Pasión del templo de la Sagrada Familia. Su originalidad estriba en que se repiten dos veces los números 10 y 14, mientras que el 12 y el 16 no aparecen. Tal vez para que la suma fuera de 33, de claro simbolismo crístico; tal vez para evocar una vinculación con los grados de la masonería... o, tal vez, para facilitarnos la respuesta al problema original?
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6 comentarios:

Syr dijo...

Decía Pitágoras que " Dios geometriza". Resulta curioso en el cuadro mágico de la Sagrada Familia que aparezca el 1,2,3,4 y el 10, resultado de la suma de los anteriores y número perfecto, pero no el 12 y el 16, correspondientes al sistema solar y al hombre.
Pero si unes series de cuatro números seguidos de ese cuadrado mágico, observarás que siempre te aparece la misma figura geométrica.

Un abrazo

pallaferro dijo...

Pues sí, mucho misterio encierra este cuadrado mágico de la Sagrada Familia... O, tal vez, se lo queremos atribuir!

Un abrazo,

Baruk dijo...

Que complicado me resulta la explicación isomorfica del cuadrado mágico, por mucho que lea tu explicación, no me imagino como puedo llegar a resolver un problema sin utilizar su formula matemática (que seguramente ignoraría), utilizando el patrón del cuadrado mágico y posteriormente aplicar la transformación inversa para llegar a la respuesta del problema original... jóóóóó!!!!

Pero, contoyconeso... timu :-)

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pallaferro dijo...

No es tan complicado. Mira.

Imagínate que tienes un filtro que sólo deja pasar una frecuencia determinada. Todas las demás frecuencias les corta el paso... claro: por esto se llama filtro.

Pero a este filtro le llega una señal a su entrada cuya expresión matemática está en función del tiempo s_in(t). Pues entonces, para saber la expresión de salida también en función del tiempo s_out(t) no resulta fácil hacerlo en el espacio temporal. Así que, lo fácil es aplicar la transformada de Laplace a la s_int(t) para que tengamos esa misma señal en función de las frecuencias s_in(f), seleccionar la frecuencia que atraviesa el filtro y obtener en un plis-plas la señal s_out(f).

Luego, aplicar la transformada inversa de Laplace a la s_out(f) y, así, se llega a lo que buscábamos: la s_out(t). Y ya está!

Es como ver sirenitas orantes en todas partes, no es más que aplicar la transformada correspondiente a cualquier ancla que veas para "filtrar" su significado, bajo otra connotación, no resulta evidente descifrar. ;-)

Però... jo betam timu:)

Anónimo dijo...

Me llenan de curiosidad estos cuadrados.

Hay otro que hizo Durero en su cuadro "melancolía".

pallaferro dijo...

A que sí? Son cuadrados que encierran mensajes, simbolismo, intriga... Fascinante!

El cuadro de la melancolía de Durero... es uno de los que me trae sensaciones muy especiales.

Gracias por tu comentario, "anónima"!