La pirámide de cubos

(Un problema de matemáticas para distraernos pensando)

Enunciado:

Hemos construido una pirámide formada por cubos de madera, cada uno de ellos tiene un volumen de 1 dm³. En el piso superior hay un cubo, situado en el centro del segundo piso, formado por cuatro cubos. Estos cuatro cubos están situados en el centro del otro piso, formado por nueve cubos.

Queremos pintar la parte visible de la pirámide, es decir, que no pintaremos ni las caras que queden debajo ni las partes de caras que queden tapadas por otro piso.

a) ¿Cual será la superficie que tendremos que pintar?

b) Y si añadiéramos un nuevo piso, formado por 16 cubos, ¿Cual sería la superficie que tendríamos que pintar?

c) ¿Sabrías generalizarlo al caso que hubiera un número cualquiera n de pisos?

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Solución:

a) En primer lugar, a partir del volumen de los cubos, obtenemos el valor de la arista (a):

En relación al cubo del primer piso (n=1), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 4 caras laterales y la superior:

En relación a los 4 cubos del segundo piso (n=2), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 8 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los cuatro cubos, menos la superficie de un cubo, que es la superficie que queda tapada por el piso n=1. Así tenemos:

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En relación a los 9 cubos del tercer piso (n=3), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 12 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los nueve cubos, menos la superficie de los cuatro cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=2. Así tenemos:

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Entendemos, por el enunciado del problema, que la base de la pirámide no se pintará. Por lo que no añadimos aquí la superficie de la base (9a²)

Entonces, la superficie total a pintar es:

Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos finalmente que:

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b) A la solución del apartado anterior añadimos la superficie del cuarto piso. Entonces, la superficie lateral (Sl) a pintar, en relación al cuarto piso (n=4), sería la de las 16 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los dieciséis cubos, menos la superficie de los nueve cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=3. Así tenemos:

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De este modo, se obtiene la superficie total a pintar para el caso de una pirámide de cubos de cuatro pisos:

Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos que:

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c) Para generalizarlo al caso de n pisos, procederemos a analizar la evolución de las series obtenidas en los dos apartados anteriores.

Para cada piso, obteníamos la superficie de los lados, le sumábamos la superficie superior y le restábamos la superficie de contacto con el piso de encima. Construimos así la tabla siguiente con los coeficientes multiplicadores de la superficie lateral de una cara de un cubo (a²):

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La superficie del piso de encima que tendremos que restar es siempre la misma que la superficie superior calculada en el piso anterior, con lo que sólo nos quedará la superficie n², como superficie superior del último piso (equivalente a lo que se vería de la pirámide desde encima, justo desde la verticalidad) De esta manera, observamos que la superficie de los lados es siempre, para cada piso, 4 veces el número del piso: 4n.

Es decir, la superficie lateral a pintar será de:

Arreglando la expresión obtenida, resulta que la superficie que tendremos de pintar en un caso general de una pirámide de n pisos formada por cubo de arista a es:

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Para finalizar, realizaremos a continuación un análisis de la evolución de esta superficie a pintar en el caso particular de a=1.

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Y ya está:

"Con esto y un bizcocho, !hasta mañana a las ocho!"

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Los pilares de mi mundo

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Muchas veces ha venido a mi mente esa vieja canción que, con gran acierto, afirmaba que en la vida hay tres cosas básicas para ser feliz: salud, dinero y amor. No obstante, también hay gente más mundana y superficial que se compran un camión, o un tractor amarillo, y con ello ya tienen su felicidad… zoológica.

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Mi esquema de felicidad y equilibrio emocional parece que se me ha vuelto –con los años- un poco complejo. Aunque espero que no se me complique más, dudo que esperanzas y realidades sigan el mismo camino.

Bajo mi percepción, soy de la opinión que el equilibrio emocional de una persona se apoya sobre un conjunto de pilares. Unos pilares son sólidos y otros están más débiles, unos son más estables y otros varían de grosor por ciclos temporales. Enfin, que el equilibrio emocional de todo quisqui oscila constantemente. Lo importante es que esa oscilación no se acentúe demasiado, se tambalee todo y el “castillo” en el que estás montado se venga abajo. Para ello, en tu interior, allí donde radican tus sentimientos más íntimos, se establece una constante lucha con el fin de mantenerte erguido sobre esos pilares sobre los que crees apoyarte.

¿De qué pilares estamos hablando? Pues en el de la salud, la economía, las raíces, los hijos, el amor, los amigos, el trabajo, las aficiones,… puede haber más pilares, aunque en este momento no soy capaz de percatarme de ningún otro. Y suele pasar que te percatas de que había un pilar ahí, precisamente, cuando éste se rompe.

Cuando, por circunstancias propias de la vida, hay algún pilar de éstos que se debilita, inconscientemente nos apoyarnos con más intensidad en los otros que los vemos más firmes y seguros con el fin de mantener esa estabilidad emocional. No siempre el pilar dañado es reparado. Unas veces por desidia, otras por profundo dolor, otras por temor a afrontarse al problema y bajar a trabajar en los cimientos del pilar, se acaba creyendo uno – ingenuamente - que “el tiempo” lo sanará, que con “el tiempo” ese pilar crecerá y volverá a ser firme como lo era en un pasado.

Un hecho acontecido recientemente en el trabajo ha hecho que, el pilar donde me había refugiado en los últimos dos años, tambaleara fuertemente. He pasado a encontrarme solo ante las responsabilidades y las decisiones a tomar. Ha sido para mí una sacudida que me ha hecho revisar el conjunto de pilares que soportan emocionalmente mi vida y, entonces, he creído darme cuenta de su débil y frágil estado.

Y como si fuera un síndrome propio del otoño, o algo contagioso, los miedos me han enturbiado el ánimo y el corazón. Miedo a la soledad, miedo a que algo o alguien pueda hacer daño a mis seres queridos, miedo a perderlos, miedo a todo.

Recuperar la confianza y la seguridad; disipar los miedos y fortalecer los pilares dañados; alimentar el alma con amor y crecer en la autoestima; saber escoger bien el camino a seguir y cambiar tu óptica con la que enfocabas los principios y la felicidad de tu vida… no son cosas fáciles ni rápidas. Requiere pensar en soledad, reflexionar sobre qué te ocurre realmente, comunicarte con los demás y en especial con tu seres más queridos, sincerarte y poner en crisis valores que tenias por asentados en tu cerebro desde siempre...

Pero soy muy afortunado porque me han ayudado todos mis seres queridos y, por ello, les agradezco sus abrazos, sus besos y sus reconfortantes palabras.

Os quiero.

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