La pirámide de cubos

(Un problema de matemáticas para distraernos pensando)

Enunciado:

Hemos construido una pirámide formada por cubos de madera, cada uno de ellos tiene un volumen de 1 dm³. En el piso superior hay un cubo, situado en el centro del segundo piso, formado por cuatro cubos. Estos cuatro cubos están situados en el centro del otro piso, formado por nueve cubos.

Queremos pintar la parte visible de la pirámide, es decir, que no pintaremos ni las caras que queden debajo ni las partes de caras que queden tapadas por otro piso.

a) ¿Cual será la superficie que tendremos que pintar?

b) Y si añadiéramos un nuevo piso, formado por 16 cubos, ¿Cual sería la superficie que tendríamos que pintar?

c) ¿Sabrías generalizarlo al caso que hubiera un número cualquiera n de pisos?

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Solución:

a) En primer lugar, a partir del volumen de los cubos, obtenemos el valor de la arista (a):

En relación al cubo del primer piso (n=1), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 4 caras laterales y la superior:

En relación a los 4 cubos del segundo piso (n=2), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 8 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los cuatro cubos, menos la superficie de un cubo, que es la superficie que queda tapada por el piso n=1. Así tenemos:

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En relación a los 9 cubos del tercer piso (n=3), la superficie lateral (Sl) a pintar sería la de las 12 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los nueve cubos, menos la superficie de los cuatro cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=2. Así tenemos:

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Entendemos, por el enunciado del problema, que la base de la pirámide no se pintará. Por lo que no añadimos aquí la superficie de la base (9a²)

Entonces, la superficie total a pintar es:

Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos finalmente que:

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b) A la solución del apartado anterior añadimos la superficie del cuarto piso. Entonces, la superficie lateral (Sl) a pintar, en relación al cuarto piso (n=4), sería la de las 16 caras laterales más la superficie libre superior, que es la de los dieciséis cubos, menos la superficie de los nueve cubos, que es la superficie que queda tapada por el piso n=3. Así tenemos:

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De este modo, se obtiene la superficie total a pintar para el caso de una pirámide de cubos de cuatro pisos:

Sustituyendo el valor de la arista (a=1dm), obtenemos que:

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c) Para generalizarlo al caso de n pisos, procederemos a analizar la evolución de las series obtenidas en los dos apartados anteriores.

Para cada piso, obteníamos la superficie de los lados, le sumábamos la superficie superior y le restábamos la superficie de contacto con el piso de encima. Construimos así la tabla siguiente con los coeficientes multiplicadores de la superficie lateral de una cara de un cubo (a²):

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La superficie del piso de encima que tendremos que restar es siempre la misma que la superficie superior calculada en el piso anterior, con lo que sólo nos quedará la superficie n², como superficie superior del último piso (equivalente a lo que se vería de la pirámide desde encima, justo desde la verticalidad) De esta manera, observamos que la superficie de los lados es siempre, para cada piso, 4 veces el número del piso: 4n.

Es decir, la superficie lateral a pintar será de:

Arreglando la expresión obtenida, resulta que la superficie que tendremos de pintar en un caso general de una pirámide de n pisos formada por cubo de arista a es:

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Para finalizar, realizaremos a continuación un análisis de la evolución de esta superficie a pintar en el caso particular de a=1.

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Y ya está:

"Con esto y un bizcocho, !hasta mañana a las ocho!"

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